Mechanické kmitavé děje

Mechanické kmitavé děje: kinematika a dynamika netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu zavěšeného na pružině, přeměny energie při tomto pohybu, matematické a fyzické kyvadlo, kmity tlumené odporem prostředí, kmity vynucené, skládání kmitů.

1) ZÁKLADNÍ POJMY

- nestacionární děj - veličiny popisující děj se s časem mění
- periodický děj (kmitání) - pohybový stav se pravidelně opakuje
- perioda kmitání T - doba, za kterou se oscilátor dostane do stejné polohy = kmit
- frekvence kmitání (kmitočet) - počet kmitů za 1 s

- oscilátor - zařízení schopné komat kmitavý pohyb
- pružinový - těleso kmitá po přímce
- kyvadlový - př: matematické kyvadlo
- harmonický pohyb - zvláštní případ kmitání - časovým záznamem veličin je sinusoida

2) KINEMATIKA KMITAVÉHO POHYBU

Harmonickým nazýváme kmitavý pohyb, jeho časový diagram má sinusový průběh.

Kmitavý pohyb lze popsat pomocí souřadnice
y– okamžitá výchylka, měnící se podle f sinus

K odvození okamžité výchylky využíváme analogii kmitavého pohybu s pohybem po kružnici.
- základní rovnice kmitavého pohybu

- w - úhlová frekvence

- rychlost kmitavého pohybu:

- maximální rychlost - v rovnovážné poloze
- minimální rychlost - v amplitudě

- zrychlení kmitavého pohybu:

- zrychlení je přímo úměrné okamžité výchylce a má vždy opačný směr
- pokud
- jo - počáteční fáze kmitavého pohybu [j]= rad
- určuje veličiny kmitavého pohybu v čase t = 0 s
- fázový rozdíl - rozdíl počátečních fází dvou harmonických pohybů

3) FÁZOROVÝ DIAGRAM (viz. K-44)

- způsob záznamu kmitavého pohybu
- založen na analogii kmitavého pohybu a pohybu po kružnici
- kolem počátku rotuje tzv. fázor - vektor zavedený pomocí komplexních čísel
- průmět na osu y určuje okamžitou hodnotu harmonické veličiny
- z fázorového diagramu lze přejít k časovému diagramu
- při znázorňování více pohybů současně můžeme znázornit fázový rozdíl

4) SLOŽENÉ KMITÁNÍ

- princip superpozice
Koná-li hmotný bod současně několik harmonických pohybů, pak jeho okamžitá výchylka je rovna součtu jednotlivých výchylek.

- superpozicí vzniká složené kmitání
- skládání pohybů můžeme provádět graficky nebo početně:

- pokud - j = (2׫ + 1)p rad ޠopačná fáze (zeslabení)
- j = 2׫װ rad ޠshodná fáze (zesílení)
- skládáme-li kmitání stejné frekvence - výsledné kmitání je harmonické
- skládáním harmonických pohybů různých frekvencí - ne harmonické pohyby mohou být periodické: nΎ
- rázy - vznikají skládáním harmonických pohybů velmi blízkých frekvencí
- neharmonické kmitání, jehož amplituda výchylky se periodicky mění

5) DYNAMIKA KMITAVÉHO POHYBU

- tuhost pružiny - k - základní vlastnost pružiny

- zavěsíme-li na pružinu závaží ޠpružina se prodlouží o Dl - rovnovážná poloha
- prodloužíme-li pružinu ޠsoustava se rozkmitá - na závaží působí síla F = Fg + Fp
- oscilátor se pohybuje dolů - síla Fp roste ޠvýslednice F směřuje vzhůru
- oscilátor se pohybuje vzhůru - síla Fp klesá ޠvýslednice F směřuje dolů
- harmonický pohyb mechanického oscilátoru je způsoben silou F, která stále směřuje do rovnovážné polohy a je přímo úměrná okamžité výchylce

- pohybová rovnice harmonického kmitavého pohybu:

- vlastní kmitání oscilátoru - bez vnějších sil
- porovnáním vztahů pro obecné zrychlení a pro zrychlení harmonického kmitání dostáváme:
F = a׭ ޠa = F/m= -k/m׹
a = -w2׹
w = 2װ/T = 2װצ

Příčinou pohybu kyvadla je pohybová složka a tíhové síly , která vzniká při vychýlení kyvadla z rovnovážné polohy:
- pro matematické kyvadlo:

Matematické kyvadlo je kyvadlem dokonalým, nepůsobí na něj žádné síly vnějšího prostředí. (jedná se o
hmotný bod zavěšený na nehmotném vlákně) Fyzické kyvadlo je kyvadlem reálným. (např. u hodin)
- platí dostatečně přesně pro úhel a < 5°

7) PŘEMĚNY MECHANICKÉ ENERGIE V OSCILÁTORU

K uvedení mech. oscilátoru do pohybu musíme ho vychýlit z rovnovážné polohy konáním práce
silou

O stejnou hodnotu se zvýší potenciální energie pružnosti oscilátoru, při uvolnění se přeměňuje na kinetickou.

Při harmonickém pohybu se periodicky mění potenciální energie oscilátoru v energii kinetickou a naopak. Celková energie potenciální je konstantní a je v každém okamžiku rovna součtu energie potenciální a kinetické.

- vlastní kmitání je vždy tlumené - dochází ke ztrátám (přeměny mechanické energie oscilátoru na jiné formy)

8) NUCENÉ KMITÁNÍ
- tj. netlumené harmonické kmitání vznikne tehdy, pokud jsou ztráty energie nahrazovány v průběhu celé periody působením vnější síly (přes vazbu), která se mění harmonicky ( ).
- Při nuceném kmitání kmitá oscilátor s frekvencí ɍ vnější síly. Tato frekvence může být odlišná od vlastní frekvence ɯ oscilátoru. Frekvence kmitání nezávisí na parametrech oscilátoru.
- Je-li frekvence ɠsíly vyvolávající nucené kmitání rovna vlastní frekvenci ɯ oscilátoru, je amplituda výchylky ym největší. Jev se nazývá rezonance. (pomocí ní lze zesílit kmitání)