Měření tíhového zrychlení reversním kyvadlem

Úkol měření:
1) Stanovte velikost tíhového zrychlení g a jeho úplnou krajní chybu k(g)
2) Interpolaci znázorněte graficky.

Pomůcky: reversní kyvadlo
počítač pro počítaní doby kyvů.

Obecná část:
V gravitačním poli Země vykonává každé těleso vlivem tíže pohyb rovnoměrně zrychlený. Zrychlení tohoto pohybu nazýváme tíhové zrychlení. Tíhové zrychlení je jedna z důležitých konstant, pomocí kterých lze stanovit hmotnost Země a které mají dnes velmi důležité aplikace při letech do vesmíru.Tíhové zrychlení g je rovno vektorovému součtu gravitačního zrychlení g1 ,které v daném místě míří do středu Země a odstředivého zrychlení an.Velikost tíhového zrychlení závisí tedy na vzdálenosti od středu Země a na zeměpisné šířce. Podle Cassiniova vzorce:

g = g0 (1+ 5,278895*10-3 * sin2 j+ 2,3462*10-5 * sin4 j) – 3,148*10-7 h (ms-2) (1)

kde g 0= 9,7803185 ms-2
je hodnota gravitačního zrychlení na rovníku. Hodnota g0 je v současné době nejpřesnější dostupná hodnota.
Vzorec pro výpočet tíhového zrychlení: g =(2p/T)2 *l0

kde l je redukovaná délka fyzického kyvadla
a T je doba kyvu tohoto fyzického kyvadla
Tíhové zrychlení lze měřit pomocí reversním kyvadlem( pro přesnější výpočty).
Reverzní kyvadlo je fyzické kyvadlo, tj. hmotné těleso, jež je otočené kolem osy neprocházející těžištěm.Reverzní kyvadlo má takové osy 2, jež jsou od sebe vzdáleny l0. Těžiště tohoto kyvadla leží mezi těmito osami. Na jedné straně kyvadla je umístěna posuvná čočka( závaží). Jeho posouváním dosáhneme shodné doby kyvu t1 = t2 = t pro kývání jak kolem osy o1 , tak kolem osy o2 .Pro dobu kyvu platí vztah:

T=p.Ög/l

Postup měření:
Nastavíme závaží do polohy ,aby byla doba kmitu podle obou os stejná =l0. Tím stanovíme i zároveň dobu kmitu T. (správnou polohu závaží nastavíme metodou interpolační).
Nastavíme závaží na určitý dílek stupnice d od konce tyče v našem případě na vzdálenost 3cm a změříme dobu kyvu. Pak tyč obrátíme a postupujeme shodně.
Poté vrátíme tyč do původní polohy , ale vzdálenost d zvětšíme o jistou délkovou jednotku (v našem případě se jednalo o 3 cm) a pokus opakujeme. Naměřené dvojice hodnot vynášíme do grafu. Vzniklé interpolační křivky se nám protnou v jednom bodě , který bude splňovat podmínku T1=T2=T.
Časové údaje měříme vždy při průchodu kyvadla rovnovážnou polohou.
Zjištěnou vzdálenost závaží od konce tyče nastavíme na kyvadle a provedeme další kontrolní měření. Z nich potom určíme průměrné hodnoty T1 a T2. Dle vzorce

g=p2.l /T2

Naměřené hodnoty a jejich zpracování:

Doba za 10 kmitů
d1 T11 T12
3cm 19,65 18,70
6cm 19,81 19,29
9cm 19,99 19,96
12cm 20,16 20,72
15cm 20,37 21,73
Doba za 30 kmitů:
d2 T11 T12
9,8cm 60,18 60,84
9,6cm 60,14 60,68
9,3cm 60,09 60,46
9,1cm 60,06 60,31
8,8cm 60,01 60,10
8,5cm 59,96 59,89
Průměr 60,07 60,38

Pro výpočet g využijeme vztah: g=(2p/T)2 l0 =
= (2*3,141592654 / 1,99729(s))2 * 0,990(m) = 9,793324461 (ms-2)

Kde l0 je redukovaná délka… 0,990 ± 0,001(m) 0,001 = dl0
T je doba za 1kmit …..1,9972 ± 0,0001(s) 0,0001 = dT

Do vzorce (1) jsme dosadili hodnoty za j=49°45’, h = 311m pro porovnání s naší hodnotou. Po dosazení do vztahu jsme zjistili, že se hodnoty liší jen v setinách.
Ze vztahu (1) nám vyšlo: 9,74081 po zaokrouhlení na 5 desetinných míst.

Vztahy pro stanovení chyb:

dt = dtik/K2 *w(t22K- A)2+ (-t12K+A)2+(-t21K+A)2+(t11K-A)2
dtik…..je chyba , které se dopouštíme při měření času stopkami(±0,2), což ovšem v našem případě nepřichází v úvahu.
Přístroj má nepřesnost měření času udávanou výrobcem 0.01 % z naměřené hodnoty, to znamená že:
dT = 0.0001 . T
a xT = dT/T = 0.0001 [-]
xl0 = dl0 / l0

Stanovení chyb:

l = (0,990±0,001)m xI= 0,001 . 100 / 0,990 = 0,1%
T = (1,9972±0,0001)s xT = 0,0001. 100 /1,9972 = 0,005%
xg = Öx2p + x2l0 +(2 * xT)2 = absolutní chyba dg = g* xg
= Ö0 + 1,01*10-3 + (2*5*10-5)=0,03 =9,79*0,03 = 0,2937

Závěr:
Tíhové zrychlení má hodnotu

g = 9,79 ± 0,03 (ms-2)
Naše hodnoty měření jsou v rozsahu minimální odchylky od v současné době nejpřesnější naměřené hodnoty g =9,78. Zjištěné tíhové zrychlení odpovídá tabelované hodnotě.