Matematika starého Egypta

Během 5., 4. a 3. tisíciletí př. n.l. na březích velkých řek v Africe a Asii v subtropické oblasti Nilu, Tigridu, Eufratu a Indu rozvinuly se z ustálených neolitických společenství nové a pokrokové státní formy.

Orientální matematika vznikla jako praktická věda, aby usnadnila výpočet kalendáře, řízení sklizní, organizaci vestaveb a vybíraní daní. Zpočátku byla věnována pozornost praktické aritmetice a zeměměřičství. Avšak věda, která byla po staletí pěstována jako zvláštnost a dovednost, jejíž úkol však není jen v aplikaci, ale též ve vyučování vlastních tajemství, se rozvíjí směrem k abstrakci. Aritmetika se rozvine v algebru nejen proto, že se tím zlepší praktické výpočty, ale též v důsledku přirozeného vývoje procesu vědy, pěstované a rozvíjené v písařských školách. Tytéž důvody dovedly měřičství až k počátkům – dále však ne – teoretické geometrie.
Také se stává, že přes všechnu podobnost ekonomické struktury a úrovně vědeckých znalostí nalézáme vždy překvapující rozdíly mezi různými kulturami. Příslovečná byla uzavřenost Číňanů a Egypťanů. Ale naopak můžeme shledávat, že jejich obecný aritmeticko – algebraický charakter má mnoho shodných prvků. Věda se během určité epochy rozvíjela v jedné zemi rychleji než v druhé, zachovala si své charakteristické metodické postupy a symboliku.

Obtíže při určování dat ve vývoji orientální vědy způsobil materiál užívaný k jejímu zaznamenávání. Mezopotámci pálili hliněné tabulky, které byly prakticky nezničitelné. Egypťané používali papyru a značná část jejich písemnictví se zachovala díky suchému klimatu. Číňané používaly papíru, ale z tisíciletí před rokem 700. n.l. se zachovalo jen málo. Pro staletí před rozvojem řecké vědy jsme odkázáni skoro výlučně na materiál z Mezopotámie nebo Egypta.

Dlouhou dobu byly naše nejbohatší historické prameny z Egypta.
Většina našich znalostí o egyptské matematice pramení ze dvou matematických papyrů: je to tzv. Rhinův (Londýnský) papyrus, nese jméno anglického egyptologa a je uložen v Britském muzeu v Londýně. Byl pravděpodobně napsán písařem Amnesem v období 1788–1780 př. n.l. ( hyskóská epocha ). Obsahuje 85 úloh. Druhým je takzvaný Goleniščenův (Moskevský papyrus), který je asi o dvě století starší a obsahuje 25 úloh. Je uložen v moskevském Puškinově muzeu výtvarných umění. Oba papyry byly „příručkami“ ve školách písařů, kde se pro svou životní dráhu připravovali úředníci, zeměměřiči a stavitelé. Oba papyry obsahují materiál o hodně starší.
Matematika vykládaná v obou těchto papyrech se opírá o desítkový početní systém se zvláštním znakem pro každou větší decimální hodnotu. Tento systém známe dobře z římské numerace, která spočívá na témž principu. Na základě tohoto systému rozvinuly Egypťané aritmetiku převážně aditivního charakteru tj. snažily se převést všechno násobení na opakované sčítání.

Př.: Výpočet součinu 45 × 73 byl proveden následovně:

/ 1 ………… 73
2 ………… 146
/ 4 ………… 292
/ 8 ………… 584
16 ………… 1168
/ 32 ………… 2336
-----------------------------
45 ………… 3285

Číslu 1 byl přiřazen větší činitel a pak zdvojnásobováním vytvořený levý sloupec, který byl ukončen číslem nejbližším menšímu činiteli. Svislou čárou se označily ty mocniny dvou, jejichž součet se rovnal menšímu činiteli. Součet odpovídajících čísel v pravém sloupci se pak rovnal hledanému součinu.

Dělení se provádělo obdobně jako násobení, ale vedle operace sčítání a zdvojnásobování přibyla ještě operace půlení.
Př.: 126 ÷ 28

1 ………… 28
2 ………… 56
/ 4 ………… 112
/ 2 ………… 14
4 …………. 7
---------------------
42 …………126

Číslu 1 byla přiřazena hodnota dělitele a zdvojnásobováním byl vytvořen pravý sloupec, který končil číslem nižším než dělenec. Dále
nižším než dělenec. Dále se pokračovalo půlením dělitele (číslo s čárkou nahoře vyjadřovalo polovinu, čtvrtinu atp.). V pravém sloupci se vyhledala taková čísla, jejichž součet se rovnal dělenci a v levém sloupci se sečetla jím odpovídající čísla. Tak byla získána hodnota podílu.

Nejvýraznějším rysem egyptské matematiky bylo počítání se zlomky. Všechny zlomky se převáděly na součty tzv. kmenových (alikvotvích) zlomků, tj. zlomků s čitatelem rovným 1. Jedinou výjimku tvořily 2/3 = 1- 1/3 ; pro tento zlomek se používal zvláštní symbol( v jiné literatuře se uvádí 3 ). Převádění na součty kmenových zlomků umožňovaly tabulky udávající rozklady zlomků tvaru 2/n , tedy jediné rozklady potřebné pro násobení dvěma. Rhinův papyrus obsahuje tabulku, která udává pro všechna lichá a od 5 do 331 rozklady zlomku 2/n na kmenové zlomky.
Př.: 2/7 = ¼ + 1/28 ….
Tento způsob počítání se zlomky vtiskl egyptské matematice komplikovaný a těžkopádný ráz a trvale zabránil dalšímu jejímu růstu.Egypťané v této době už také znali trojčlenku a dovedli řešit rovnice o jedné neznámé.

Příklady z nalezených papyrů v původním znění:

Úloha č.19 - příklady „aha“ – znamená „hromada“ nebo „majetek“

Vzor pro výpočet majetku. Počítaný 1 2 krát spolu se 4 dosáhne 10. Jaký je majetek ?

Řešení:
Vypočítej, o kolik je nad těmi čtyřmi. Vychází 3. Vypočítej 12 tak, abys dostal 1. Vycházejí 3 . Vypočítej 3 z oněch 6. Vychází 4. Hle, 4 Ti vyšlo. Nalezl si správně

Úloha č.28 z Rhinova papyru – úloha typu „Mysli si číslo“

Mysli si číslo. Přidej jeho 3. Z toho součtu odečti jeho 3. Jaká je odpověď ?

Řešení:
Předpokládej, že jsi řekl odpověď 10. Pak odečti jeho desetinu a řekni, že myšlené číslo bylo 9. Dvě třetiny z toho, jmenovitě 6, se mají přičíst. Celek je 15. Z toho třetina je 5. Oho! 5 je to co vychází a 10 zbytek. Tak se to dělá, to je tvé kouzlo.

Některé problémy jsou geometrického charakteru a většinou se zabývají měřením. Plocha trojúhelníka se určuje polovičním součinem základny a výšky; plocha kruhu o průměru d se udává jako (d – d/9)2, což by vedlo k hodnotě p = 256/81 = 3,1605. Nalezneme zde také několik formulí pro výpočet objemů, třeba krychle, rovnoběžnostěnu, a kruhového válce, vesměs ve zcela konkrétním tvaru výpočtů nádob užívaných převážně k uchování obilí. Nejpozoruhodnějším výsledkem egyptského měřičství byl vzorec pro objem přímého komolého jehlanu o čtvercových podstavách V = h/3(a2 + ab + b2 ), kde a,b jsou strany čtverců základen a h výška. Tento výsledek, jemuž doposud nebyla nalezena žádná obdoba v ostatních formách starověké matematiky,
je tím pozoruhodnější, že nemáme doklad o znalosti Pythagorovi věty u Egypťanů.
( O znalosti Pythagorovi věty u Egypťanů se vedou spory - jiné zdroje uvádějí: Uměli sestrojit pravý úhel pomocí 3 napjatých lan: Věděli, že když vezmou tři provazy, jeden dlouhý tři určené jednotky, druhý čtyři a třetí pět jednotek, a natáhnou je tak aby navazovaly jeden na druhý, vznikne proti provazu o délce pět jednotek pravý úhel. Znali dokonce mnohem víc: je jim známo, že ostrý úhel v pravoúhlém trojúhelníku je zcela určen poměrem jeho dvou kratších stran – dnes bychom řekli poměrem jeho odvěsen. Měli i tabulky podle nichž dovedli z tohoto poměru ostrý úhel určit. Byl to zárodek našich dnešních tabulek funkce kotangens.)

Úloha č.14 z Moskevského papyru
(vzor pro výpočet pyramidy která nemá vrchol)

Je ti dána pyramida (useknutá) vysoká 6 loktů, 4 na spodní hraně, 2 na horní hraně.

Řešení:
Počítej s těmi 4 tak, že je umocníš. Vyjde 16. Zdvojnásob 4, vyjde 8. Vypočítej druhou odmocninu oněch 2. Vyjdou 4. Sečti těchto 16 a těchto 8 a ty 4. Vyjde 28. Vypočítej 3 ze 6, vychází 2. Vypočti 28 krát 2, vyjde 56. Nalezl si správně.

( po pozorném přečtení zjistíte, že je to výše uvedený vzorec na výpočet objemu komolého jehlanu)

Úkol č. -- z Rhinova papyru

Jehlan je (na dolní hraně) dlouhý 140 loktů a zužuje se o 5 dlaní a 1 prst. Jaká je jeho výška?

Řešení:
Vyděl jeden loket dvojnásobkem zúžení, tj. 10 dlaněmi a 2 prsty (10½ dlaně). Počítej s 10½ abys dostal 7, tj. 1 loket na 7 dlaní. Dvě třetiny z 10½ je 7. Počítej se 140, tj. s délkou hrany. Vypočítej 3 ze 140, dostaneš 93 3. To je jeho výška.

(Loket měřil přibližně 52 cm, dělil se na 7 dlaní, dlaň měla 4 prsty. V hieroglyfech se psal znakem v podobě natažené ruky )

Egypťané byly schopni řešit pouze jednoduché lineární rovnice – na svou dobu slušné, ale jiný národ Babyloňané – byli na tom o něco lépe, v době Chamurappiho ovládaly metody řešení kvadratických rovnic. Řešili lineární rovnice o dvou neznámých, a dokonce i problémy zahrnující kubické a bikvadratické rovnice.

Nikde v celé orientální matematice však nenalezneme ani pokus o to, čemu mi říkáme důkaz. Nebyla podána žádná argumentace, nýbrž jen popis jistých pravidel „udělej to tak a tak“. Není známo nic o způsobech, kterými byly věty odvozeny. Byly různé snahy objasnit způsob, jakými Egypťané dospěli ke svým výsledkům, však všechny spočívaly na hypotézách.

Použitá literatura

[1] Dirk J. Struik: Dějiny Matematiky Orbis, Praha - 1963
[2] V.Zamarovský: Jejich veličenstva pyramidy Čs. spisovatel, Praha–1986
[3] Jaromír Hrubeš: Historie matematiky v příkladech Csc., 1996
[4] Světová informační síť: internet